MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați inegalitatea log⁡1/2(log⁡3(x+1x−1))≥0\log_{1/2}\bigl(\log_3\bigl(\frac{x+1}{x-1}\bigr)\bigr) \ge 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observați domeniul: argumentul logaritmului exterior trebuie să fie pozitiv, deci log⁡3(x+1x−1)>0\log_3\bigl(\frac{x+1}{x-1}\bigr)>0, iar raportul este definit pentru x≠1x\neq1. Din log⁡3(⋅)>0\log_3(\cdot)>0 rezultă x+1x−1>1\frac{x+1}{x-1}>1, care echivalează cu x>1x>1. \
24 puncte
Transformăm inegalitatea folosind faptul că baza 12<1\tfrac12<1 este descrescătoare: log⁡1/2(A)≥0  ⟺  0<A≤1\log_{1/2}(A)\ge0\iff 0<A\le1, deci 0<log⁡3(x+1x−1)≤10<\log_3\bigl(\frac{x+1}{x-1}\bigr)\le1. Aceasta devine 1<x+1x−1≤31<\frac{x+1}{x-1}\le3. Din prima parte avem deja x>1x>1, din a doua partea (pentru x>1x>1) avem x+1x−1≤3  ⟺  x≥2\frac{x+1}{x-1}\le3\iff x\ge2. \
33 puncte
Reuniunea condițiilor dă soluția finală x∈[2,+∞)x\in[2,+\infty). Verificare punctuală: la x=2x=2 expresia este egală cu 0, deci este acceptată.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.