MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații exponentialeDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați inegalitatea: log⁡2(3⋅2x−1−1)x≥1\dfrac{\log_2\bigl(3\cdot 2^{x-1}-1\bigr)}{x} \ge 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinați domeniul de definiție: condiţia argumentului 3⋅2x−1−1>03\cdot 2^{x-1}-1>0 se rescrie cu y=2xy=2^{x} ca 32y−1>0  ⟺  y>23\tfrac{3}{2}y-1>0\iff y>\tfrac{2}{3}; de asemenea x≠0x\neq0.;
22 puncte
Faceţi substituţia y=2xy=2^{x} (cu y>0y>0 şi x=log⁡2yx=\log_2 y) pentru a transforma inegalitatea într-una în yy; analizaţi semnul lui xx deoarece multiplicarea cu xx schimbă sensul inegalităţii pentru x<0x<0.;
33 puncte
Pentru x>0x>0 (adică y>1y>1) transformaţi inegalitatea şi obţineţi condiţia echivalentă y≥2y\ge 2 (adică x≥1x\ge1). Pentru x<0x<0 (adică 0<y<10<y<1) folosiţi condiţia y>23y>\tfrac{2}{3} şi obţineţi intervalul corespunzător pentru xx; demonstraţi paşii algebrici. ;
43 puncte
Intersectaţi rezultatele cu domeniul iniţial şi scrieţi soluţia finală sub forma unui interval (sau reuniune de intervale), justificând excluderile punctuale precum x=0x=0 şi valorile pentru care argumentul se anulează.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.