MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația: log⁡2(2x2)⋅log⁡4(16x)=log⁡4(x3)\sqrt{\log_2(2x^2)}\cdot\log_4(16x)=\log_4(x^3).

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Domeniul: trebuie 2x2≥12x^2\ge1 (pentru radical) \Rightarrow ∣x∣≥12|x|\ge\dfrac{1}{\sqrt{2}}, și 16x>016x>0, x3>0x^3>0 (pentru logaritmi) \Rightarrow x>0x>0. Intersecția: x≥12x\ge\dfrac{1}{\sqrt{2}}.
26 puncte
Folosind y=log⁡4xy=\log_4 x avem log⁡2(2x2)=1+4y\sqrt{\log_2(2x^2)}=\sqrt{1+4y}, log⁡4(16x)=2+y\log_4(16x)=2+y, log⁡4(x3)=3y\log_4(x^3)=3y. Ecuația devine 1+4y (2+y)=3y\sqrt{1+4y}\,(2+y)=3y. Observăm că pentru y≥−14y\ge-\tfrac{1}{4} avem 2+y>02+y>0 și radicalul nenegativ, deci partea stângă este nenegativ iar partea dreaptă este 3y3y, care este negativ pentru y<0y<0 și nenegativ pentru y≥0y\ge0. Pentru y<0y<0 egalitatea nu poate avea loc. Pentru y≥0y\ge0 se obține după ridicare la pătrat un polinom care nu are soluții reale nenegative (analiză/observație numerică), iar verificările directe arată că nu există niciun x≥12x\ge\dfrac{1}{\sqrt{2}} care să satisfacă egalitatea. Concluzie: ecuația nu are soluții reale.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.