MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmice
Rezolvați ecuația: 1−2(log⁡(x2))2log⁡x−2(log⁡x)2=1\dfrac{1-2\bigl(\log(x^2)\bigr)^2}{\log x - 2\bigl(\log x\bigr)^2}=1 (logaritm cu baza implicită).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Domeniul: trebuie (x>0) și numitorul nenul: (\log x - 2(\log x)^2\neq0\Rightarrow \log x\neq0) și (\log x\neq\tfrac12).
22 puncte
Observăm că (\log(x^2)=2\log x). Notăm (t=\log x). Atunci numărătorul devine (1-2(2t)^2=1-8t^2), iar numitorul (t-2t^2).
34 puncte
Ecuația devine ((1-8t^2)/(t-2t^2)=1). Rezolvăm: (1-8t^2=t-2t^2\Rightarrow 1-t-6t^2=0\Rightarrow 6t^2+t-1=0). Discriminant (\Delta=25), deci (t=\dfrac{-1\pm5}{12}\Rightarrow t=\dfrac{1}{3}) sau (t=-\dfrac12).
42 puncte
Revenim la (x): (x=10^{1/3}=\sqrt[3]{10}) pentru (t=1/3) și (x=10^{-1/2}=1/\sqrt{10}) pentru (t=-1/2). Ambele sunt în domeniu (nu dau numitor zero), deci soluțiile sunt (x=\sqrt[3]{10}) și (x=1/\sqrt{10}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.