MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați inegalitatea: x2−4log⁡1/2(x2−1)<0\dfrac{x^2-4}{\log_{1/2}(x^2-1)}<0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Domeniul: argumentul logaritmului trebuie pozitiv, deci x2−1>0  ⟺  ∣x∣>1x^2-1>0\iff |x|>1. Excludem de asemenea valorile care anulează logaritmul: log⁡1/2(x2−1)=0  ⟺  x2−1=1  ⟺  x=±2\log_{1/2}(x^2-1)=0\iff x^2-1=1\iff x=\pm\sqrt{2}. Deci lucrăm pe (−∞,−1)∪(1,∞)(-\infty,-1)\cup(1,\infty) cu excluderea x=±2x=\pm\sqrt{2}. \
24 puncte
Observați semnul logaritmului pentru baza 12\tfrac12: log⁡1/2t>0\log_{1/2}t>0 dacă 0<t<10<t<1 şi log⁡1/2t<0\log_{1/2}t<0 dacă t>1t>1. Pentru t=x2−1t=x^2-1 rezultă că log⁡1/2(x2−1)>0\log_{1/2}(x^2-1)>0 pe intervalele (−2,−1)(-\sqrt{2},-1) şi (1,2)(1,\sqrt{2}), şi negativ pentru (−∞,−2)(-\infty,-\sqrt{2}) şi (2,∞)(\sqrt{2},\infty). Factorizați numărătorul x2−4=(x−2)(x+2)x^2-4=(x-2)(x+2) pentru a determina semnul. \
33 puncte
Studiu de semn pe intervalele bune conduce la soluţia x∈(−∞,−2)∪(−2,−1)∪(1,2)∪(2,∞)x\in(-\infty,-2)\cup(-\sqrt{2},-1)\cup(1,\sqrt{2})\cup(2,\infty) (excluzând x=±2x=\pm\sqrt{2} şi valorile pentru care numărătorul este zero).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.