MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pentru ce valori ale lui a radacinile ecuatiei x2−2x−a2+1=0x^2 - 2x - a^2 + 1 = 0 se afla intre radacinile ecuatiei x2−2(a+1)x+a(a−1)=0x^2 - 2(a+1)x + a(a-1) = 0?

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Fie ecuatia 1: x2−2x−a2+1=0x^2 - 2x - a^2 + 1 = 0 cu radacini r1<r2r_1 < r_2, iar ecuatia 2: x2−2(a+1)x+a(a−1)=0x^2 - 2(a+1)x + a(a-1) = 0 cu radacini s1<s2s_1 < s_2. Conditia este s1<r1<r2<s2.s_1 < r_1 < r_2 < s_2.
24 puncte
Observam: ecuatia 1 este o translatie a ecuatiei 2 cu schimbari de parametri. Folosim formula radacinilor: Ecuatia 1: r1,2=1±a2=1±∣a∣.r_{1,2} = 1 \pm \sqrt{a^2} = 1 \pm |a|. Ecuatia 2: s1,2=(a+1)±(a+1)2−a(a−1).s_{1,2} = (a+1) \pm \sqrt{(a+1)^2 - a(a-1)}. Radicalul devine: (a+1)2−a2+a=2a+1.(a+1)^2 - a^2 + a = 2a + 1. Deci s1,2=(a+1)±2a+1.s_{1,2} = (a+1) \pm \sqrt{2a+1}.
33 puncte
Conditia s1<r1s_1 < r_1 devine (a+1)−2a+1<1−∣a∣,(a+1) - \sqrt{2a+1} < 1 - |a|, iar r2<s2r_2 < s_2 devine 1+∣a∣<(a+1)+2a+1.1 + |a| < (a+1) + \sqrt{2a+1}. Din cele doua inegalitati rezulta conditia necesara si suficienta a>0.a > 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.