MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmice
Rezolvați ecuația: log⁡2(2x2)⋅log⁡2(16x)=92 (log⁡2x)2\log_2(2x^2)\cdot\log_2(16x) = \tfrac{9}{2}\,(\log_2 x)^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Observăm domeniul x>0x>0 şi punem t=log⁡2xt=\log_2 x.
23 puncte
Calculăm log⁡2(2x2)=1+2t\log_2(2x^2)=1+2t şi log⁡2(16x)=4+t\log_2(16x)=4+t, înlocuim în ecuație: (1+2t)(4+t)=92t2(1+2t)(4+t)=\tfrac{9}{2}t^2.
33 puncte
Reducem la ecuație a doua de grad: 5t2−18t−8=05t^2-18t-8=0, discriminant D=484D=484, t=4t=4 sau t=−25t=-\tfrac{2}{5}.
42 puncte
Revenim la xx: x=24=16x=2^4=16 şi x=2−2/5x=2^{-2/5}. Ambele respectă domeniul, deci soluțiile sunt x=16x=16 şi x=2−2/5x=2^{-2/5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.