MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmice
Rezolvați inegalitatea: log⁡x24x−5∣x−2∣≥12\log_{x^2}\dfrac{4x-5}{|x-2|} \ge \tfrac{1}{2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinați domeniul de definiție al expresiei: baza x2>0x^2>0, x2≠1x^2\neq1 (deci x≠0,±1x\neq0,\pm1), argumentul fracţiei pozitiv şi ∣x−2∣≠0|x-2|\neq0 (deci x≠2x\neq2).;
22 puncte
Din condiţia argumentului pozitiv deduceţi intervalele posibile pentru xx (se observă că, deoarece ∣x−2∣≥0|x-2|\ge0, argumentul pozitiv înseamnă 4x−5>04x-5>0, adică x>5/4x>5/4, cu excluderea lui x=2x=2).;
33 puncte
Observaţi că a=x2a=x^2 şi a1/2=∣x∣a^{1/2}=|x|; descompuneţi în cazuri după valoarea lui ∣x∣|x| (în practică aici rămâne cazul ∣x∣>1|x|>1), transformaţi inegalitatea în forma algebrică corespunzătoare şi analizaţi subcazele determinate de ∣x−2∣|x-2| (adică x<2x<2 şi x>2x>2).;
43 puncte
Rezolvaţi efectiv inegalităţile rezultate în fiecare subinterval şi intersectaţi cu domeniul; scrieţi mulţimea soluţiilor finale clar, menţionând excluderile (de exemplu excluderea lui x=2x=2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.