MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați inegalitatea 2log⁡5(x−3d+2)−log⁡5(x+2d−8)≤42\log_{5}(x-3d+2)-\log_{\sqrt{5}}(x+2d-8)\le 4.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Determinarea domeniului: x−3d+2>0x-3d+2>0 și x+2d−8>0x+2d-8>0, deci x>max⁡{3d−2, 8−2d}x>\max\{3d-2,\,8-2d\}.
23 puncte
Observăm că log⁡5y=2log⁡5y\log_{\sqrt{5}}y=2\log_{5}y, deci inegalitatea devine 2(log⁡5(x−3d+2)−log⁡5(x+2d−8))≤42(\log_{5}(x-3d+2)-\log_{5}(x+2d-8))\le 4, iar împărțind la 22 obținem log⁡5 ⁣(x−3d+2x+2d−8)≤2\log_{5}\!\left(\dfrac{x-3d+2}{x+2d-8}\right)\le 2.
34 puncte
Exponentiem în baza 55 (argumentele sunt pozitive datorită domeniului) și obținem x−3d+2x+2d−8≤25\dfrac{x-3d+2}{x+2d-8}\le 25. Pentru x>max⁡{3d−2,8−2d}x>\max\{3d-2,8-2d\} numitorul este pozitiv, deci x−3d+2≤25(x+2d−8)x-3d+2\le25(x+2d-8), de unde 24x≥202−53d24x\ge202-53d și soluția finală este x≥max⁡{3d−2, 8−2d, (202−53d)/24} x\ge\max\{3d-2,\,8-2d,\,(202-53d)/24\}\,.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.