MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 11

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Pentru ce valori reale ale lui aa imaginea funcției y=x−1a−x2+1y=\dfrac{x-1}{a-x^2+1} nu conține nici o valoare din intervalul [−1,−13][-1,-\tfrac{1}{3}]?

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Echivalență. Fixăm un t∈[−1,−13]t\in[-1,-\tfrac{1}{3}] și studiem ecuația x−1a−x2+1=t\dfrac{x-1}{a-x^2+1}=t. Se transformă în ecuația cuadratică tx2+x−(1+t(a+1))=0t x^2 + x -\bigl(1+t(a+1)\bigr)=0.
23 puncte
Discriminantul. Calculăm discriminantul în funcție de tt: Δ(t)=1+4t+4(a+1)t2\Delta(t)=1+4t+4(a+1)t^2. Pentru ca pentru acel tt să nu existe soluții reale este necesar Δ(t)<0\Delta(t)<0. Pentru ca niciun t∈[−1,−13]t\in[-1,-\tfrac{1}{3}] să producă soluții trebuie Δ(t)<0\Delta(t)<0 pentru orice astfel de tt.
34 puncte
Analiza pe interval. Observăm că pentru t=−1t=-1 și t=−13t=-\tfrac{1}{3} condiția comună este 4a+1<04a+1<0, adică a<−14a< -\tfrac{1}{4}. Verificăm că aceasta asigură Δ(t)<0\Delta(t)<0 pentru tot t∈[−1,−13]t\in[-1,-\tfrac{1}{3}]. Concluzie: imaginea nu conține intervalul dat pentru a<−14a< -\tfrac{1}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.