MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați log⁡1/5(6x+1−36x)≥−2\log_{1/\sqrt{5}}\left(6^{x+1}-36^{x}\right)\ge -2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Determinați domeniul de definiție. Observați 36x=(62)x=62x36^{x}=(6^{2})^{x}=6^{2x} şi factorizați: 6x+1−36x=6x(6−6x)>06^{x+1}-36^{x}=6^{x}(6-6^{x})>0, deci 0<6x<6⟹x<10<6^{x}<6\Longrightarrow x<1. (3 puncte)
24 puncte
Faceți substituţia t=6x>0t=6^{x}>0. Inechitatea devine log⁡1/5(t(6−t))≥−2\log_{1/\sqrt{5}}(t(6-t))\ge -2. Cum baza 1/5∈(0,1)1/\sqrt{5}\in(0,1), funcţia logaritm este descrescătoare, deci echivalent: t(6−t)≤(1/5)−2=5t(6-t)\le (1/\sqrt{5})^{-2}=5. Rezolvaţi inegalitatea: −t2+6t−5≤0⟹t2−6t+5≥0⟹(t−1)(t−5)≥0-t^{2}+6t-5\le0\Longrightarrow t^{2}-6t+5\ge0\Longrightarrow (t-1)(t-5)\ge0, deci t∈(0,1]∪[5,6)t\in(0,1]\cup[5,6). (4 puncte)
33 puncte
Revenind la xx: 6x≤1⟹x≤06^{x}\le1\Longrightarrow x\le0 şi 5≤6x<6⟹log⁡65≤x<15\le6^{x}<6\Longrightarrow \log_{6}5\le x<1. Intersecţia cu domeniul x<1x<1 oferă soluţia finală (−∞,0]∪[log⁡65,1)(-\infty,0]\cup[\log_{6}5,1). (3 puncte)

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.