MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiFuncția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați inegalitatea: log⁡2x(x2−5x+6)<1\log_{2x}(x^2-5x+6) < 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Domeniul: baza 2x>02x>0 şi 2x≠1⇒x>0, x≠122x\ne1\Rightarrow x>0,\ x\ne\tfrac12. Argumentul x2−5x+6=(x−2)(x−3)>0⇒x∈(0,2)∪(3,∞)x^2-5x+6=(x-2)(x-3)>0\Rightarrow x\in(0,2)\cup(3,\infty). Combinat: (0,2)∖{12}∪(3,∞)(0,2)\setminus\{\tfrac12\}\cup(3,\infty).
24 puncte
Separăm cazurile: dacă 0<x<120<x<\tfrac12 atunci baza în (0,1)(0,1) şi inegalitatea devine x2−5x+6>2x⇒x2−7x+6>0⇒x<1 sau x>6x^2-5x+6>2x\Rightarrow x^2-7x+6>0\Rightarrow x<1\text{ sau }x>6, deci toată mulţimea (0,12)(0,\tfrac12). Dacă x>12x>\tfrac12 (baza>1) inegalitatea devine x2−5x+6<2x⇒x2−7x+6<0⇒1<x<6x^2-5x+6<2x\Rightarrow x^2-7x+6<0\Rightarrow 1<x<6, intersectând cu domeniul obţinem (1,2)(1,2) şi, pentru x>3x>3, intervalul (3,6)(3,6).
33 puncte
Combinând: soluţia este (0,12)∪(1,2)∪(3,6)(0,\tfrac{1}{2})\cup(1,2)\cup(3,6).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.