MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmice
Rezolvați inegalitatea log⁡2(4x−5⋅2x+2)>2\log_2(4^x - 5\cdot 2^x + 2) > 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Introduceți substituția t=2x  (t>0)t=2^x\;(t>0) şi transformați inegalitatea în log⁡2(t2−5t+2)>2\log_2(t^2-5t+2)>2.
23 puncte
Echivalați cu t2−5t+2>4t^2-5t+2>4, adică t2−5t−2>0t^2-5t-2>0, şi determinați rădăcinile t=5±332t=\dfrac{5\pm\sqrt{33}}{2}.
33 puncte
Determinați semnul şi intersectați cu condiţia argumentului t2−5t+2>0t^2-5t+2>0 (rădăcini 5±172\dfrac{5\pm\sqrt{17}}{2}), rezultând singura soluţie pozitivă pentru tt: t>5+332t>\dfrac{5+\sqrt{33}}{2}.
42 puncte
Revenind la xx, obţineţi 2x>5+3322^x>\dfrac{5+\sqrt{33}}{2}, deci x>log⁡2 ⁣(5+332)x>\log_2\!\left(\dfrac{5+\sqrt{33}}{2}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.