MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați inegalitatea: 2log⁡5x−log⁡x125<12\log_5 x - \log_x 125 < 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Domeniul: x>0x>0, x≠1x\ne1 (pentru log⁡x\log_x).
22 puncte
Folosiți log⁡x125=3log⁡x5=3log⁡5x\log_x 125=3\log_x 5=\dfrac{3}{\log_5 x}. Cu y=log⁡5x (y≠0)y=\log_5 x\ (y\ne0) inegalitatea devine 2y−3y<12y-\dfrac{3}{y}<1, adică 2y2−y−3y<0\dfrac{2y^2-y-3}{y}<0.
33 puncte
Factorizați numărătorul: 2y2−y−3=2(y−32)(y+1)2y^2-y-3=2(y-\tfrac{3}{2})(y+1), rădăcinile sunt y=−1y=-1 şi y=32y=\tfrac{3}{2}.
42 puncte
Analiza semnelor pe intervale dă soluția pentru yy: y∈(−∞,−1)∪(0,32)y\in(-\infty,-1)\cup(0,\tfrac{3}{2}).
52 puncte
Revenind la xx: log⁡5x<−1⇒x∈(0,1/5)\log_5 x< -1\Rightarrow x\in(0,1/5) şi log⁡5x∈(0,3/2)⇒x∈(1,53/2)\log_5 x\in(0,3/2)\Rightarrow x\in(1,5^{3/2}). Soluția: x∈(0,15)∪(1,53/2)x\in(0,\tfrac{1}{5})\cup(1,5^{3/2}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.