MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați inegalitatea log⁡1/4(x+1)≥−2log⁡1/162+log⁡1/4(x2+3x+8)\log_{1/4}(x+1) \ge -2\log_{1/16}2 + \log_{1/4}(x^2+3x+8).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculaţi constanta: log⁡1/162=−14\log_{1/16}2=-\tfrac{1}{4}, deci −2log⁡1/162=12-2\log_{1/16}2=\tfrac{1}{2}.
23 puncte
Regrupaţi folosind proprietăţile logaritmilor: log⁡1/4x+1x2+3x+8≥12\log_{1/4}\dfrac{x+1}{x^2+3x+8}\ge\tfrac{1}{2}.
33 puncte
Observaţi că baza 14∈(0,1)\tfrac{1}{4}\in(0,1) este descrescătoare, deci echivalentul este x+1x2+3x+8≤(14)1/2=12\dfrac{x+1}{x^2+3x+8}\le\left(\tfrac{1}{4}\right)^{1/2}=\tfrac{1}{2}; domeniul impune x>−1x>-1 (întrucât x2+3x+8>0 ∀xx^2+3x+8>0\ \forall x).
42 puncte
Multiplicaţi prin pozitivul x2+3x+8x^2+3x+8 şi obţineţi x2+x+6≥0x^2+x+6\ge0, adevărat pentru orice xx; rezultă soluţia finală x∈(−1,∞)x\in(-1,\infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.