MediuLogaritmiClasa 11

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilorMonotonie și convexitate
Rezolvați inegalitatea: log⁡10(log⁡(x2+21))>1+log⁡x\log_{10}\bigl(\log(x^2+21)\bigr) > 1 + \log x.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Domeniul de definiție: este necesar x>0x>0 (pentru log⁡x\log x) iar interiorul log⁡(x2+21)\log(x^2+21) este pozitiv automat deoarece x2+21≥21>1x^2+21\ge21>1, deci domeniul este x>0x>0.
23 puncte
Folosiți identitatea 1+log⁡x=log⁡(10x)1+\log x=\log(10x) pentru baza 10; inegalitatea devine log⁡10(log⁡(x2+21))>log⁡10(10x)\log_{10}\bigl(\log(x^2+21)\bigr)>\log_{10}(10x), deci, prin monotonia lui log⁡10\log_{10}, echivalentă cu log⁡(x2+21)>10x\log(x^2+21)>10x.
33 puncte
Definiți funcţia f(x)=log⁡(x2+21)−10xf(x)=\log(x^2+21)-10x pe (0,∞)(0,\infty). Observați că f′(x)=2x(x2+21)ln⁡10−10<0f'(x)=\dfrac{2x}{(x^2+21)\ln 10}-10<0 pentru orice x≥0x\ge0, deci ff este strict descrescătoare şi admite o singură rădăcină x0>0x_0>0 pentru ecuaţia f(x)=0f(x)=0.
42 puncte
Calcul numeric aproximativ: rezolvând numeric log⁡(x2+21)=10x\log(x^2+21)=10x obținem x0≈0.1323x_0\approx0.1323. Prin monotonia descrescătoare a lui ff, inegalitatea f(x)>0f(x)>0 are soluţii 0<x<x00<x<x_0. Concluzie: x∈(0, 0.1323 (aprox.))x\in(0,\,0.1323\text{ (aprox.)}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.