MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați log⁡0.5(log⁡6x2+xx+4)<0\log_{0.5}\left(\log_{6}\dfrac{x^{2}+x}{x+4}\right)<0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Domeniul: expresia din logaritmul interior trebuie pozitiv şi x≠−4x\neq-4: x2+xx+4>0, x≠−4\dfrac{x^{2}+x}{x+4}>0,\ x\neq-4. (3 puncte)
24 puncte
Cum baza 0.5∈(0,1)0.5\in(0,1), inegalitatea log⁡0.5(u)<0\log_{0.5}(u)<0 echivalează cu u>1u>1. Deci log⁡6x2+xx+4>1⇒x2+xx+4>6\log_{6}\dfrac{x^{2}+x}{x+4}>1\Rightarrow \dfrac{x^{2}+x}{x+4}>6. Rezolvaţi: x2+x>6(x+4)⇒x2−5x−24>0x^{2}+x>6(x+4)\Rightarrow x^{2}-5x-24>0. Calculaţi rădăcinile: Δ=121\Delta=121, rădăcinile −3-3 şi 88, astfel inegalitatea are soluţii x<−3x<-3 sau x>8x>8. (4 puncte)
33 puncte
Împărţiţi cu domeniul iniţial: excludem x=−4x=-4. Soluţia finală este (−∞,−3)∖{−4}∪(8,∞)(-\infty,-3)\setminus\{-4\}\cup(8,\infty). (3 puncte)

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.