MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameStudiul funcțiilor
Dată funcția y=(x−1)2(x−2)3y = (x - 1)^2 (x - 2)^3. Investigați variația acesteia și construiți graficul.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Domeniu și rădăcini — determinați D(y)=RD(y)=\mathbb{R}, găsiți rădăcinile x=1x=1 (multiplicitate 2) și x=2x=2 (multiplicitate 3), calculați valori uşoare (y(1)=0y(1)=0, y(2)=0y(2)=0) și observaţi comportarea la rădăcini în funcție de multiplicitate.
22 puncte
Limite la infinit — observați gradul polinomului (5) și coeficientul dominant pozitiv, deci y→−∞y\to-\infty când x→−∞x\to-\infty și y→+∞y\to+\infty când x→+∞x\to+\infty.
33 puncte
Derivată, puncte critice și monotonia — calculați y′=2(x−1)(x−2)3+3(x−1)2(x−2)2=(x−1)(x−2)2(5x−7)y'=2(x-1)(x-2)^3+3(x-1)^2(x-2)^2=(x-1)(x-2)^2(5x-7), identificați punctele critice x=1,x=2,x=7/5x=1, x=2, x=7/5, analizaţi semnul derivatelor pe intervale şi clasificaţi punctele: la x=1x=1 schimbare de la creștere la descreștere (maxim local, y(1)=0y(1)=0), la x=7/5x=7/5 minim local (y(7/5)=(2/5)2(−3/5)3=−108/3125y(7/5)=(2/5)^2(-3/5)^3=-108/3125), la x=2x=2 derivata nu-și schimbă semnul (punct staționar fără extrem local, comportare de trecere cu aplatizare datorită multiplicității).
41 punct
Concavitate și puncte de inflexiune — investigați y′′y'' (sau analiza schimbărilor de semn ale y′y') pentru a găsi intervalele de concavitate și pozițiile aproximative ale punctelor de inflexiune (observați în special comportarea în jurul lui x=2x=2).
52 puncte
Schițați graficul aproximativ indicând rădăcinile cu multiplicităţi, pozițiile și tipurile extremelor, monotonia pe intervale și comportamentul la infinit.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.