MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiFuncția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați inegalitatea: log⁡a(x−1)+log⁡ax>2\log_a(x-1)+\log_a x>2 (se consideră baza a>0a>0, a≠1a\neq1).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Domeniul de definiție: trebuie x−1>0x-1>0 şi x>0x>0, deci x>1x>1.
23 puncte
Combinaţi logaritmii: log⁡a(x(x−1))>2  ⟺  log⁡a(x2−x)>2\log_a\bigl(x(x-1)\bigr)>2\iff \log_a\bigl(x^2-x\bigr)>2. Echivalent cu x2−x  ?  a2x^2-x\; ?\; a^2, unde semnul depinde de monotonia logaritmului.
33 puncte
Cazuri după baza aa: (i) Dacă a>1a>1, log⁡a\log_a este creştere, deci x2−x>a2  ⟺  x2−x−a2>0x^2-x>a^2\iff x^2-x-a^2>0. Rădăcinile ecuaţiei x2−x−a2=0x^2-x-a^2=0 sunt r1,2=1±1+4a22r_{1,2}=\dfrac{1\pm\sqrt{1+4a^2}}{2}; observați r1<0<1<r2r_1<0<1<r_2, astfel pentru x>1x>1 inegalitatea se reduce la x>r2=1+1+4a22x>r_2=\dfrac{1+\sqrt{1+4a^2}}{2}. (ii) Dacă 0<a<10<a<1, log⁡a\log_a este descrescătoare, deci inegalitatea se inversează: x2−x<a2  ⟺  x2−x−a2<0x^2-x<a^2\iff x^2-x-a^2<0, adică r1<x<r2r_1<x<r_2; intersectând cu x>1x>1 obţinem 1<x<r2=1+1+4a221<x<r_2=\dfrac{1+\sqrt{1+4a^2}}{2}.
42 puncte
Concluzie: pentru a>1a>1 soluţia este x>1+1+4a22x>\dfrac{1+\sqrt{1+4a^2}}{2} (cu x>1x>1), iar pentru 0<a<10<a<1 soluţia este 1<x<1+1+4a221<x<\dfrac{1+\sqrt{1+4a^2}}{2}. (Baza a=1a=1 este exclusă.)

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.