MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea: 3log⁡ax+6(log⁡ax)2+2>1\dfrac{3\log_a x + 6}{(\log_a x)^2 + 2} > 1 (baza a>0a>0, a≠1a\neq1).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Domeniul de definiție: x>0x>0 pentru log⁡ax\log_a x. Observaţi că numitorul (log⁡ax)2+2>0(\log_a x)^2+2>0 pentru orice x>0x>0.
23 puncte
Notaţi t=log⁡axt=\log_a x. Inegalitatea devine 3t+6t2+2>1  ⟺  3t+6>t2+2  ⟺  t2−3t−4<0\dfrac{3t+6}{t^2+2}>1\iff 3t+6>t^2+2\iff t^2-3t-4<0.
33 puncte
Rezolvaţi inegalitatea cuadratică: t2−3t−4=(t−4)(t+1)t^2-3t-4=(t-4)(t+1), deci t∈(−1,4)t\in(-1,4).
42 puncte
Revenind la xx: t=log⁡ax∈(−1,4)  ⟺  x=at∈(a−1,a4)t=\log_a x\in(-1,4)\iff x=a^t\in(a^{-1},a^4) dacă a>1a>1, iar dacă 0<a<10<a<1 atunci funcţia ata^t este descrescătoare şi intervalul corespunzător este x∈(a4,a−1)x\in(a^4,a^{-1}). Concluzie: pentru a>1a>1 avem x∈(a−1,a4)x\in(a^{-1},a^4), pentru 0<a<10<a<1 avem x∈(a4,a−1)x\in(a^4,a^{-1}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.