MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați 3log⁡3x−1<3log⁡3(x−6)+33^{\log_{3}\sqrt{x-1}} < 3^{\log_{3}(x-6)} + 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Domeniul: pentru log⁡3x−1\log_{3}\sqrt{x-1} și log⁡3(x−6)\log_{3}(x-6) este necesar x−1>0\sqrt{x-1}>0 și x−6>0x-6>0, deci x>6x>6.
23 puncte
Folosim proprietatea 3log⁡3A=A3^{\log_{3}A}=A pentru A>0A>0, obținem x−1<x−6+3=x−3\sqrt{x-1} < x-6+3 = x-3. Pentru x>6x>6 ambele părți sunt nenegative, putem pătra: x−1<(x−3)2x-1<(x-3)^2.
34 puncte
Rezolvăm: x−1<x2−6x+9⇒0<x2−7x+10x-1 < x^2-6x+9\Rightarrow 0<x^2-7x+10, rădăcini 22 și 55, inegalitatea adevărată pentru x<2x<2 sau x>5x>5. Intersectând cu domeniul x>6x>6 rezultă soluția (6,∞) (6,\infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.