MediuDomeniul de definiție al funcțiilorClasa 10

Problemă rezolvată de Domeniul de definiție al funcțiilor

MediuDomeniul de definiție al funcțiilorLogaritmi
Determinați domeniul de definiție al funcției y=log⁡x−2(x2−8x+15)y = \sqrt{\log_{x-2}\left(x^2 - 8x + 15\right)}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Impunem condițiile generale: baza x−2>0x-2>0 şi x−2≠1x-2\ne 1 (deci x>2x>2, x≠3x\ne 3) şi argumentul logaritmului x2−8x+15>0x^2-8x+15>0, adică (x−3)(x−5)>0(x-3)(x-5)>0, deci x∈(−∞,3)∪(5,∞)x\in(-\infty,3)\cup(5,\infty).
24 puncte
Analizăm cazurile pentru baza logaritmului. Pentru 2<x<32<x<3 (baza în (0,1)(0,1)) condiţia log⁡x−2(⋅)≥0\log_{x-2}(\cdot)\ge 0 devine x2−8x+15≤1x^2-8x+15\le 1, adică (x−4)2≤2(x-4)^2\le 2, rezultând x∈[4−2, 4+2]x\in[4-\sqrt{2},\,4+\sqrt{2}]; intersectând cu (2,3)(2,3) obţinem x∈[4−2,3)x\in[4-\sqrt{2},3).
33 puncte
Pentru x>5x>5 (baza >1>1) condiţia log⁡x−2(⋅)≥0\log_{x-2}(\cdot)\ge 0 devine x2−8x+15≥1x^2-8x+15\ge 1, adică (x−4)2≥2(x-4)^2\ge 2, ceea ce, intersectat cu x>5x>5, dă x∈[4+2,∞)x\in[4+\sqrt{2},\infty). Combinând rezultatele obţinem domeniul [4−2,3)∪[4+2,∞)[4-\sqrt{2},3)\cup[4+\sqrt{2},\infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Domeniul de definiție al funcțiilor

Ușor#1Domeniul de definiție al funcțiilorFuncția de gradul al II-lea
Determinați domeniul de definiție al funcției y=2x−x2y = \sqrt{2x - x^2}.
Mediu#2Domeniul de definiție al funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x−x+1y = \sqrt{x - \sqrt{x + 1}}.
Mediu#3Domeniul de definiție al funcțiilorEcuații iraționale
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x−1+6−xy = \sqrt{x - 1 + \sqrt{6 - x}}.
Ușor#4Domeniul de definiție al funcțiilorFuncția de gradul al II-lea
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x2−5x+6y = \sqrt{x^2 - 5x + 6}.
Vezi toate problemele de Domeniul de definiție al funcțiilor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Domeniul de definiție al funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.