MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 11

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaDerivateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti toate valorile reale ale lui mm pentru care inegalitatea mx2−4x+3m+1>0m x^2 - 4x + 3m + 1 > 0 este satisfacuta pentru orice x>0.x > 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Consideram functia f(x)=mx2−4x+3m+1f(x) = m x^2 - 4x + 3m + 1. Daca m<0m < 0, atunci pentru x→+∞x \to +\infty avem f(x)→−∞f(x) \to -\infty, deci inegalitatea nu poate fi adevarata pentru toate x>0x > 0. Rezulta m>0m > 0.
24 puncte
Pentru m>0m > 0, parabola este cu concavitatea in sus, iar minimul pe (0,+∞)(0, +\infty) se obtine in varf, la x0=2mx_0 = \dfrac{2}{m} (solve f′(x)=2mx−4=0f'(x) = 2mx - 4 = 0). Conditia necesara si suficienta este f(x0)>0f(x_0) > 0. Calculam: f ⁣(2m)=m(4m2)−4⋅2m+3m+1=4m−8m+3m+1=−4m+3m+1.f\!\left(\frac{2}{m}\right) = m \left(\frac{4}{m^2}\right) - 4 \cdot \frac{2}{m} + 3m + 1 = \frac{4}{m} - \frac{8}{m} + 3m + 1 = -\frac{4}{m} + 3m + 1. Pentru m>0m > 0 inmultim cu mm (nu schimbam sensul): 3m2+m−4>0.3m^2 + m - 4 > 0. Ecuatia asociata este 3m2+m−4=03m^2 + m - 4 = 0 cu radacini m1=1m_1 = 1, m2=−43m_2 = -\dfrac{4}{3}. Cum coeficientul lui m2m^2 este pozitiv, inegalitatea este satisfacuta pentru m<−43m < -\dfrac{4}{3} sau m>1m > 1.
33 puncte
Intersectam cu conditia m>0m > 0 si obtinem m>1m > 1. Concluzie: inegalitatea este adevarata pentru orice x>0x > 0 daca si numai daca m>1.m > 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.