MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pentru ce valori ale lui aa radacinile ecuatiei x2−4ax+1=0x^2 - 4ax + 1 = 0 sunt reale si satisfac conditiile x1≥ax_1 \ge a si x2≥0x_2 \ge 0?

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Pentru ecuatia x2−4ax+1=0x^2 - 4ax + 1 = 0 avem S=x1+x2=4a,P=x1x2=1.S = x_1 + x_2 = 4a, \quad P = x_1 x_2 = 1. Discriminantul este Δ=16a2−4=4(4a2−1).\Delta = 16a^2 - 4 = 4(4a^2 - 1). Conditia Δ≥0\Delta \ge 0 da ∣a∣≥12.|a| \ge \frac{1}{2}.
24 puncte
Produsul pozitiv P=1P = 1 arata ca radacinile au acelasi semn. Daca a<0a < 0, atunci S=4a<0S = 4a < 0, deci radacinile sunt negative, contradictie cu x2≥0x_2 \ge 0. Rezulta a>0a > 0. Pentru a>0a > 0 radacinile sunt pozitive cand exista, deoarece S>0S > 0 si P>0P > 0. Conditia x1≥ax_1 \ge a si x2≥ax_2 \ge a este echivalenta cu cerinta ca ambele radacini sa fie cel putin aa. Pentru un trinom cu coeficientul lui x2x^2 pozitiv aceasta este echivalenta cu S≥2a,P≥a2.S \ge 2a, \quad P \ge a^2. Prima conditie: 4a≥2a4a \ge 2a este echivalenta cu 2a≥02a \ge 0, adevarata pentru a≥0a \ge 0. A doua conditie: 1≥a2⇒∣a∣≤1.1 \ge a^2 \Rightarrow |a| \le 1.
33 puncte
Combinam: a>0a > 0, ∣a∣≥1/2|a| \ge 1/2 si ∣a∣≤1|a| \le 1 ⇒ 12≤a≤1.\frac{1}{2} \le a \le 1. Pentru aceste valori radacinile sunt reale, pozitive si cel putin egale cu aa.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.