MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere RealeDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați inegalitatea: log⁡4/3(x+3−x)+log⁡4/9(23)≥0\log_{4/3}\bigl(\sqrt{x+3}-\sqrt{x}\bigr)+\log_{4/9}\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr) \ge 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Domeniul de definiție: x≥0x\ge 0 (pentru expresia sub radical).
22 puncte
Calculați constanta: log⁡4/9 ⁣(23)=12\log_{4/9}\!\left(\tfrac{2}{3}\right)=\tfrac{1}{2} deoarece 23\tfrac{2}{3} este baza pătrată a lui 49\tfrac{4}{9}.
33 puncte
Echivalența inegalității: log⁡4/3(x+3−x)≥−12\log_{4/3}\bigl(\sqrt{x+3}-\sqrt{x}\bigr)\ge -\tfrac{1}{2}, deci, deoarece baza 43>1\tfrac{4}{3}>1, avem x+3−x≥(43)−1/2=32\sqrt{x+3}-\sqrt{x}\ge (\tfrac{4}{3})^{-1/2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Punem u=x (u≥0)u=\sqrt{x}\ (u\ge0) şi obținem u2+3≥u+32\sqrt{u^2+3}\ge u+\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
43 puncte
Pătrundem ambele părți (dreptatea e nenegativă) şi obținem u≤334u\le\dfrac{3\sqrt{3}}{4}, deci x=u2∈[0,(334)2]=[0,27/16]x=u^2\in[0,(\tfrac{3\sqrt{3}}{4})^2]=[0,27/16]. Verificare: argumentul logaritmului rămâne pozitiv.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.