MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (log⁡1/2x)2−log⁡1/2x2>(log⁡1/23)2−1(\log_{1/2} x)^2 - \log_{1/2} x^2 > (\log_{1/2} 3)^2 - 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Stabiliţi domeniul x>0x>0 şi faceţi substituţia y=log⁡1/2xy=\log_{1/2}x, respectiv observaţi că log⁡1/2x2=2log⁡1/2x=2y\log_{1/2}x^2=2\log_{1/2}x=2y.
24 puncte
Reduceţi la inegalitatea quadratică y2−2y−(log⁡1/23)2+1>0y^2-2y-(\log_{1/2}3)^2+1>0; calculaţi discriminantul şi obţineţi rădăcinile y=1±∣log⁡1/23∣=1±log⁡23y=1\pm|\log_{1/2}3|=1\pm\log_2 3, deci soluţia în yy este y<1−log⁡23y<1-\log_2 3 sau y>1+log⁡23y>1+\log_2 3.
33 puncte
Revenind la xx cu x=(1/2)yx=(1/2)^y (funcţie descrescătoare), obţineţi 0<x<160<x<\dfrac{1}{6} sau x>32x>\dfrac{3}{2} şi concluzionaţi soluţia finală x∈(0,16)∪(32,∞)x\in\left(0,\tfrac{1}{6}\right)\cup\left(\tfrac{3}{2},\infty\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.