MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați inegalitatea: (110)log⁡x−3(x2−4x+3)≥1\left(\tfrac{1}{10}\right)^{\log_{x-3}(x^2-4x+3)} \ge 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Domeniul: baza logaritmului x−3>0x-3>0 şi x−3≠1x-3\ne1, argumentul (x2−4x+3)=(x−1)(x−3)>0(x^2-4x+3)=(x-1)(x-3)>0. Rezultă x>3x>3 şi x≠4x\ne4.
24 puncte
Deoarece baza 110∈(0,1)\tfrac{1}{10}\in(0,1), pentru a∈(0,1)a\in(0,1) avem ay≥1  ⟺  y≤0a^y\ge1\iff y\le0. Deci trebuie log⁡x−3(x2−4x+3)≤0\log_{x-3}(x^2-4x+3)\le0.
33 puncte
Pentru 3<x<43<x<4 baza logaritmului este în (0,1)(0,1), deci condiţia echivalează cu x2−4x+3≥1⇒x2−4x+2≥0⇒x≤2−2  sau  x≥2+2x^2-4x+3\ge1\Rightarrow x^2-4x+2\ge0\Rightarrow x\le2-\sqrt2\ \text{ sau }\ x\ge2+\sqrt2. Intersecţia cu (3,4)(3,4) dă x∈[2+2,4)x\in[2+\sqrt2,4). Pentru x>4x>4 (bază>1) s-ar cere x2−4x+3≤1x^2-4x+3\le1, ceea ce nu produce soluţii pentru x>4x>4. Concluzie: x∈[2+2,4)x\in[2+\sqrt2,4).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.