MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați inegalitatea: log⁡1.5(2x−8x−2)<0\log_{1.5}\Bigl(\dfrac{2x - 8}{x - 2}\Bigr) < 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Determinarea domeniului: argumentul trebuie pozitiv şi x≠2x\neq 2. Se obţine 2x−8x−2>0\dfrac{2x-8}{x-2}>0, deci domeniul (−∞,2)∪(4,∞)(-\infty,2)\cup(4,\infty).
25 puncte
Folosind că baza 1.5>11.5>1, inegalitatea log⁡1.5(⋅)<0\log_{1.5}(\cdot)<0 este echivalentă cu 0<2x−8x−2<10<\dfrac{2x-8}{x-2}<1. Rezolvăm 2x−8x−2<1\dfrac{2x-8}{x-2}<1:\ 2x−8x−2−1=x−6x−2<0\dfrac{2x-8}{x-2}-1=\dfrac{x-6}{x-2}<0, ceea ce dă intervalul (2,6)(2,6). Intersectăm cu domeniul rezultat: (2,6)∩((−∞,2)∪(4,∞))=(4,6)(2,6)\cap\bigl((-\infty,2)\cup(4,\infty)\bigr)=(4,6).
32 puncte
Concluzie: soluția inegalității este (4,6)\boxed{(4,6)}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.