MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați log⁡x(log⁡9(3x−9))<1\log_{x}\left(\log_{9}(3^{x}-9)\right)<1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Domeniul: interiorul logaritmului interior trebuie pozitiv şi argumentul logaritmului exterior pozitiv; mai întâi 3x−9>1⇒3x>10⇒x>log⁡3103^{x}-9>1\Rightarrow 3^{x}>10\Rightarrow x>\log_{3}10. Observaţi că această condiţie implică x>2x>2, deci baza xx a logaritmului exterior satisface x>1x>1. (3 puncte)
24 puncte
Pentru x>1x>1 funcţia log⁡x\log_{x} este crescătoare, astfel inegalitatea log⁡x(A)<1\log_{x}(A)<1 echivalează cu A<xA<x. Aici A=log⁡9(3x−9)A=\log_{9}(3^{x}-9), deci cerem log⁡9(3x−9)<x\log_{9}(3^{x}-9)<x. Folosiţi notaţia log⁡9(⋅)=12log⁡3(⋅)\log_{9}(\cdot)=\tfrac{1}{2}\log_{3}(\cdot): obţinem 12log⁡3(3x−9)<x⇒log⁡3(3x−9)<2x\tfrac{1}{2}\log_{3}(3^{x}-9)<x\Rightarrow \log_{3}(3^{x}-9)<2x. Cu t=3x>0t=3^{x}>0 rezultă log⁡3(t−9)<2log⁡3t⟹t−9<t2\log_{3}(t-9)<2\log_{3}t\Longrightarrow t-9< t^{2}, adică t2−t+9>0t^{2}-t+9>0, care este adevărat pentru orice t>0t>0 (discriminant negativ). (4 puncte)
33 puncte
Deoarece condiţia din pasul anterior este satisfăcută pentru orice t=3x>0t=3^{x}>0, restricţia vine doar din domeniu: x>log⁡310x>\log_{3}10. Soluţia finală este (log⁡310,∞)(\log_{3}10,\infty). (3 puncte)

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.