MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmice
Rezolvați ecuația: 1+2log⁡x+25=log⁡5(x+2)1 + 2\log_{x+2}5 = \log_5(x+2).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Domeniul de definiție: baza (x+2) trebuie (>0) și (\neq1), iar argumentul logaritmului din dreapta trebuie pozitiv: (x+2>0). Deci (x>-2) și (x\neq-1).
24 puncte
Folosim relația (\log_{a}b=1/\log_{b}a). Notăm (t=\log_5(x+2)). Atunci (\log_{x+2}5=1/t) și ecuația devine (1+2/t=t).
32 puncte
Rezolvăm ecuația pentru (t): (t+2=t^2) (\Rightarrow t^2-t-2=0) (\Rightarrow (t-2)(t+1)=0), deci (t=2) sau (t=-1).
42 puncte
Revenim la (x): (t=\log_5(x+2)) dă pentru (t=2): (x+2=25\Rightarrow x=23); pentru (t=-1): (x+2=1/5\Rightarrow x=-9/5). Ambele satisfac domeniul, deci soluțiile sunt (x=23) și (x=-9/5).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.