MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea log⁡0.5(log⁡5(x2−4))>log⁡0.51\log_{0.5}\bigl(\log_5(x^2-4)\bigr)>\log_{0.5}1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observați că log⁡0.51=0\log_{0.5}1=0 şi baza 0.5<10.5<1 este descrescătoare, deci inegalitatea echivalează cu 0<log⁡5(x2−4)<10<\log_5(x^2-4)<1 (trebuie şi argumentul interior pozitiv). \
24 puncte
Din log⁡5(x2−4)>0\log_5(x^2-4)>0 rezultă x2−4>1  ⟺  x2>5  ⟺  ∣x∣>5x^2-4>1\iff x^2>5\iff |x|>\sqrt5. Din log⁡5(x2−4)<1\log_5(x^2-4)<1 rezultă x2−4<5  ⟺  x2<9  ⟺  ∣x∣<3x^2-4<5\iff x^2<9\iff |x|<3. \
33 puncte
Reuniunea condițiilor dă soluția finală 5<∣x∣<3\sqrt5<|x|<3, adică x∈(−3,−5)∪(5,3)x\in(-3,-\sqrt5)\cup(\sqrt5,3).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.