MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea: (13)log⁡1/9(x2−103x+1)≤1\left(\tfrac{1}{3}\right)^{\log_{1/9}\bigl(x^2-\tfrac{10}{3}x+1\bigr)} \le 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Domeniul pentru logaritm: x2−103x+1>0x^2-\tfrac{10}{3}x+1>0.
22 puncte
Observați că baza 13∈(0,1)\tfrac{1}{3}\in(0,1), deci expresia este ≤1 exact când exponentul este ≥0. Deci cerem log⁡1/9(x2−103x+1)≥0\log_{1/9}\bigl(x^2-\tfrac{10}{3}x+1\bigr)\ge0.
33 puncte
Pentru baza 19∈(0,1)\tfrac{1}{9}\in(0,1) condiția echivalează cu 0<x2−103x+1≤10< x^2-\tfrac{10}{3}x+1\le1. Inegalitatea superioară dă x2−103x≤0⇒x∈[0,103]x^2-\tfrac{10}{3}x\le0\Rightarrow x\in[0,\tfrac{10}{3}].
43 puncte
Rezolvați x2−103x+1>0x^2-\tfrac{10}{3}x+1>0. Discriminant Δ=649\Delta=\tfrac{64}{9}, rădăcini x=13x=\tfrac{1}{3} şi x=3x=3, deci strict pozitiv pentru x∈(−∞,13)∪(3,∞)x\in(-\infty,\tfrac{1}{3})\cup(3,\infty). Intersecția cu [0,103][0,\tfrac{10}{3}] dă soluția finală x∈[0,13)∪(3,103]x\in[0,\tfrac{1}{3})\cup(3,\tfrac{10}{3}].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.