MediuDomeniul de definiție al funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Domeniul de definiție al funcțiilor

MediuDomeniul de definiție al funcțiilorStudiul funcțiilor
Găsiți domeniul de definiție și imaginea funcției f(x)=2−x+1+x f(x)=\sqrt{2-x+\sqrt{1+x}}\,.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
15 puncte
Determinați domeniul de definiție impunând condiţiile pentru radicale: interiorul radicalului interior necesită 1+x≥0⇒x≥−11+x\ge0\Rightarrow x\ge-1. Punem t=1+x≥0t=\sqrt{1+x}\ge0, atunci x=t2−1x=t^2-1 şi expresia din radicalul exterior devine 2−(t2−1)+t=3−t2+t2-(t^2-1)+t=3-t^2+t. Cerem 3−t2+t≥0⇔t2−t−3≤03-t^2+t\ge0\Leftrightarrow t^2-t-3\le0, ale cărei rădăcini sunt 1±132\dfrac{1\pm\sqrt{13}}{2}; pentru t≥0t\ge0 rezultă 0≤t≤1+1320\le t\le\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}, deci x=t2−1∈[−1,5+132]x=t^2-1\in[-1,\dfrac{5+\sqrt{13}}{2}].
25 puncte
Determinați imaginea: pentru t∈[0,1+132]t\in[0,\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}] avem expresia interiorului 3−t2+t3-t^2+t care atinge maximul în t=1/2t=1/2 având valoarea 13/413/4, iar minimul 0 la capătul drept; astfel f(x)=3−t2+t∈[0,132]f(x)=\sqrt{3-t^2+t}\in\left[0,\dfrac{\sqrt{13}}{2}\right], imaginea fiind [0,132]\left[0,\dfrac{\sqrt{13}}{2}\right].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Domeniul de definiție al funcțiilor

Ușor#1Domeniul de definiție al funcțiilorFuncția de gradul al II-lea
Determinați domeniul de definiție al funcției y=2x−x2y = \sqrt{2x - x^2}.
Mediu#2Domeniul de definiție al funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x−x+1y = \sqrt{x - \sqrt{x + 1}}.
Mediu#3Domeniul de definiție al funcțiilorEcuații iraționale
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x−1+6−xy = \sqrt{x - 1 + \sqrt{6 - x}}.
Ușor#4Domeniul de definiție al funcțiilorFuncția de gradul al II-lea
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x2−5x+6y = \sqrt{x^2 - 5x + 6}.
Vezi toate problemele de Domeniul de definiție al funcțiilor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Domeniul de definiție al funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.