MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați inegalitatea log⁡2x2+log⁡2(x−1)<log⁡2(log⁡22)\log_{2}x^{2}+\log_{\sqrt{2}}(x-1)<\log_{\sqrt{2}}\bigl(\log_{\sqrt{2}}2\bigr).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Domeniul: argumentele logaritmilor trebuie pozitive: x2>0⇒x≠0x^{2}>0\Rightarrow x\neq0 și x−1>0⇒x>1x-1>0\Rightarrow x>1. Deci domeniul este x>1x>1.
24 puncte
Calculăm partea dreaptă: log⁡22=2\log_{\sqrt{2}}2=2, deci log⁡2(log⁡22)=log⁡22=2\log_{\sqrt{2}}(\log_{\sqrt{2}}2)=\log_{\sqrt{2}}2=2. Observăm că pentru x>1x>1 avem log⁡2x2=2log⁡2x\log_{2}x^{2}=2\log_{2}x și log⁡2(x−1)=2log⁡2(x−1)\log_{\sqrt{2}}(x-1)=2\log_{2}(x-1), deci inegalitatea devine 2log⁡2x+2log⁡2(x−1)<22\log_{2}x+2\log_{2}(x-1)<2, împărțind la 22 rezultă log⁡2(x(x−1))<1\log_{2}\bigl(x(x-1)\bigr)<1.
33 puncte
Exponentiem în baza 22: x(x−1)<2x(x-1)<2, adică x2−x−2<0x^{2}-x-2<0. Factorizăm: (x−2)(x+1)<0(x-2)(x+1)<0, soluția pentru această inegalitate este −1<x<2-1<x<2. Intersectând cu domeniul x>1x>1 obținem soluția finală 1<x<2 1<x<2\,.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.