MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea 3log⁡x+2<3log⁡x2+5−23^{\log x + 2} < 3^{\log x^2 + 5} - 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Domeniul de definiție x>0x>0 şi rescrierea expresiilor: 3log⁡x+2=9⋅3log⁡x3^{\log x+2}=9\cdot3^{\log x}, 3log⁡x2+5=243⋅3log⁡x2=243⋅(3log⁡x)23^{\log x^2+5}=243\cdot3^{\log x^2}=243\cdot(3^{\log x})^2.
24 puncte
Puneți y=3log⁡x>0y=3^{\log x}>0 şi obțineți inegalitatea quadratică 243y2−9y−2>0243y^2-9y-2>0. Calculați discriminantul Δ=2025\Delta=2025 şi rădăcinile y=−227,  y=19y=-\tfrac{2}{27},\;y=\tfrac{1}{9}; din semnul parăţii rezultă y>19y>\tfrac{1}{9}.
33 puncte
Revenind la xx, obţineți 3log⁡x>3−2⇒log⁡x>−2⇒x>10−23^{\log x}>3^{-2}\Rightarrow\log x>-2\Rightarrow x>10^{-2}. Concluzie: x>0.01x>0.01.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.