MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați inegalitatea 15−log⁡ax+21+log⁡ax<1\dfrac{1}{5-\log_{a}x}+\dfrac{2}{1+\log_{a}x}<1 (presupunând a>0a>0, a≠1a\neq1).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Domeniul: x>0x>0, log⁡ax≠5\log_{a}x\neq5 și log⁡ax≠−1\log_{a}x\neq-1 (deci x≠a5x\neq a^{5} și x≠a−1x\neq a^{-1}). Se face substituția t=log⁡axt=\log_{a}x.
24 puncte
În funcție de tt inegalitatea devine 15−t+21+t<1\dfrac{1}{5-t}+\dfrac{2}{1+t}<1. Reducând la un singur numitor se obține t2−5t+6(5−t)(1+t)<0\dfrac{t^{2}-5t+6}{(5-t)(1+t)}<0, adică (t−2)(t−3)(5−t)(1+t)<0\dfrac{(t-2)(t-3)}{(5-t)(1+t)}<0. Analiza semnelor dă soluția în tt: t∈(−∞,−1)∪(2,3)∪(5,∞)t\in(-\infty,-1)\cup(2,3)\cup(5,\infty).
34 puncte
Revenind la xx și ținând cont că t=log⁡axt=\log_{a}x, pentru a>1a>1 rezultă x∈(0,a−1)∪(a2,a3)∪(a5,∞)x\in(0,a^{-1})\cup(a^{2},a^{3})\cup(a^{5},\infty). Pentru 0<a<10<a<1 (funcția exponențială este descrescătoare) se obține corespunzător x∈(a−1,∞)∪(a3,a2)∪(0,a5)x\in(a^{-1},\infty)\cup(a^{3},a^{2})\cup(0,a^{5}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.