MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați log⁡0.1(log⁡2x2+1∣x−1∣)<0\log_{0.1}\left(\log_{2}\dfrac{x^{2}+1}{|x-1|}\right)<0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Domeniul: argumentul lui log⁡2\log_{2} trebuie pozitiv şi ∣x−1∣≠0|x-1|\neq0, deci x≠1x\neq1. Observaţi că x2+1>0x^{2}+1>0 pentru orice xx, deci semnul depinde de ∣x−1∣|x-1|, iar condiţia de pozitivitate a expresiei este automat îndeplinită pentru x≠1x\neq1. (3 puncte)
24 puncte
Baza 0.1∈(0,1)0.1\in(0,1) face ca log⁡0.1(v)<0  ⟺  v>1\log_{0.1}(v)<0\iff v>1. Astfel log⁡2x2+1∣x−1∣>1  ⟺  x2+1∣x−1∣>2\log_{2}\dfrac{x^{2}+1}{|x-1|}>1\iff \dfrac{x^{2}+1}{|x-1|}>2. Studiaţi două cazuri:
  • pentru x>1x>1: ∣x−1∣=x−1|x-1|=x-1, inegalitatea devine x2+1>2(x−1)⇒x2−2x+3>0x^{2}+1>2(x-1)\Rightarrow x^{2}-2x+3>0, care este adevărată pentru orice xx (discriminant negativ), deci toate x>1x>1 sunt soluţii (cu excluderea lui x=1x=1).
  • pentru x<1x<1: ∣x−1∣=1−x|x-1|=1-x, inegalitatea devine x2+1>2(1−x)⇒x2+2x−1>0x^{2}+1>2(1-x)\Rightarrow x^{2}+2x-1>0. Rădăcinile sunt −1±2-1\pm\sqrt{2}, astfel inegalitatea este îndeplinită pentru x<−1−2x<-1-\sqrt{2} sau x>−1+2x>-1+\sqrt{2} (în intersecţie cu x<1x<1). (4 puncte)
33 puncte
Reuniţi soluţiile: (−∞,−1−2)∪(−1+2,1)∪(1,∞)(-\infty,-1-\sqrt{2})\cup(-1+\sqrt{2},1)\cup(1,\infty). (3 puncte)

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.