MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați inegalitatea: log⁡0.5(log⁡8x2−2xx−3)<0\log_{0.5}\left(\log_8\frac{x^2-2x}{x-3}\right)<0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Domeniul interiorului: log⁡8x2−2xx−3\log_8\frac{x^2-2x}{x-3} trebuie să fie pozitiv, deci argumentul x2−2xx−3>0\dfrac{x^2-2x}{x-3}>0 şi x≠3x\neq3. Observați că pentru baza 0.5∈(0,1)0.5\in(0,1) avem log⁡0.5y<0  ⟺  y>1\log_{0.5}y<0\iff y>1. \
24 puncte
Echivalență: log⁡8x2−2xx−3>1  ⟺  x2−2xx−3>8\log_8\dfrac{x^2-2x}{x-3}>1\iff\dfrac{x^2-2x}{x-3}>8. Transformați: x2−2x−8(x−3)x−3>0  ⟺  x2−10x+24x−3>0  ⟺  (x−4)(x−6)x−3>0\dfrac{x^2-2x-8(x-3)}{x-3}>0\iff\dfrac{x^2-10x+24}{x-3}>0\iff\dfrac{(x-4)(x-6)}{x-3}>0. \
33 puncte
Studiu de semn pe intervale (puncte critice 3,4,63,4,6) conduce la soluția x∈(3,4)∪(6,∞)x\in(3,4)\cup(6,\infty) (excluzând x=3x=3).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.