MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti toate valorile lui p pentru care radacinile ecuatiei (p−3)x2−2px+5p=0(p - 3)x^2 - 2px + 5p = 0 sunt reale si pozitive.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Pentru radacini reale este necesar ca discriminantul sa fie nenegativ: Δ=(−2p)2−4(p−3)(5p).\Delta = (-2p)^2 - 4(p-3)(5p). Calculam: Δ=4p2−20p(p−3)=4p2−20p2+60p=−16p2+60p.\Delta = 4p^2 - 20p(p - 3) = 4p^2 - 20p^2 + 60p = -16p^2 + 60p. Conditia Δ≥0\Delta \ge 0 devine −16p2+60p≥0,-16p^2 + 60p \ge 0, 4p(15−4p)≥0.4p(15 - 4p) \ge 0. De aici 0≤p≤154.0 \le p \le \frac{15}{4}.
24 puncte
Pentru ca radacinile sa fie pozitive avem:
  1. suma radacinilor S>0S > 0;
  2. produsul radacinilor P>0P > 0. Folosim S=2pp−3,P=5pp−3.S = \frac{2p}{p - 3}, \quad P = \frac{5p}{p - 3}. Conditia P>0P > 0 impune ca pp si p−3p - 3 sa aiba acelasi semn. Caz 1: p>3p > 3 ⇒ P>0P > 0, dar trebuie si S>0S > 0: 2pp−3>0\frac{2p}{p - 3} > 0 care este adevarat pentru p>3p > 3. Caz 2: p<0p < 0 ⇒ ambele sunt negative, dar S=2p/(p−3)S = 2p/(p - 3) devine pozitiv (negativ împărțit la negativ), insa discriminantul impune p≥0p \ge 0, deci acest caz se elimina.
33 puncte
Intersectam cu discriminantul: 3<p≤154.3 < p \le \frac{15}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.