MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmice
Rezolvați inegalitatea: log⁡π ⁣(x+27)−log⁡π ⁣(16−2x)<log⁡πx\log_{\pi}\!(x+27)-\log_{\pi}\!(16-2x) < \log_{\pi}x.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Domeniul: argumentele logaritmilor trebuie pozitive: x+27>0x+27>0, 16−2x>016-2x>0, x>0x>0. Astfel 0<x<80<x<8.
25 puncte
Combinăm logaritmii: log⁡π ⁣(x+2716−2x)<log⁡πx\log_{\pi}\!\left(\dfrac{x+27}{16-2x}\right)<\log_{\pi}x. Cum baza π>1\pi>1 funcția logaritm este crescătoare, obținem x+2716−2x<x\dfrac{x+27}{16-2x}<x. Pentru 0<x<80<x<8 avem 16−2x>016-2x>0, deci se poate înmulți fără schimbarea semnului: x+27<x(16−2x)⇒0<−2x2+15x−27⇒2x2−15x+27<0x+27<x(16-2x)\Rightarrow 0<-2x^2+15x-27\Rightarrow 2x^2-15x+27<0. Rezolvaţi această inegalitate: ecuația asociată are rădăcinile x=3x=3 și x=92x=\tfrac{9}{2}, deci soluția este x∈(3,92)x\in(3,\tfrac{9}{2}).
32 puncte
Intersectați cu domeniul 0<x<80<x<8, obținând soluția finală x∈(3,92)x\in\left(3,\tfrac{9}{2}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.