MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați inegalitatea: log⁡2(5x−1)⋅log⁡2(225x−1)>2\log_{\sqrt{2}}(5^x-1)\cdot\log_{\sqrt{2}}\left(\frac{2\sqrt{2}}{5^x-1}\right) > 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Domeniul de definiție: impuneți 5x−1>05^x-1>0, deci x>0x>0.
24 puncte
Observaţie şi transformare: notați y=log⁡2(5x−1)y=\log_{\sqrt{2}}(5^x-1); atunci al doilea factor este log⁡2(22)−y=3−y\log_{\sqrt{2}}(2\sqrt{2})-y=3-y, deci inegalitatea devine y(3−y)>2y(3-y)>2, care se reduce la (y−1)(y−2)<0(y-1)(y-2)<0 şi conduce la y∈(1,2)y\in(1,2).
34 puncte
Revenirea la xx: din 1<log⁡2(5x−1)<21<\log_{\sqrt{2}}(5^x-1)<2 obţineţi 2<5x−1<2\sqrt{2}<5^x-1<2, adică 1+2<5x<31+\sqrt{2}<5^x<3 şi în final x∈(log⁡5(1+2), log⁡53)x\in\left(\log_5(1+\sqrt{2}),\,\log_5 3\right); verificaţi consistenţa cu domeniul.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.