MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea: log⁡2(2x−1)⋅log⁡1/2(2x+1−2)>−2\log_2(2^x-1)\cdot\log_{1/2}(2^{x+1}-2) > -2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Domeniul: 2x−1>02^x-1>0 şi 2x+1−2>02^{x+1}-2>0 (echivalent cu x>0x>0).
25 puncte
Observaţi că log⁡1/2A=−log⁡2A\log_{1/2}A=-\log_2A şi că 2x+1−2=2(2x−1)2^{x+1}-2=2(2^x-1). Notând t=log⁡2(2x−1)t=\log_2(2^x-1) obţineţi produsul −(t)(t+1)>−2-(t)(t+1)>-2, adică t2+t<2t^2+t<2 (sau t2+t−2<0t^2+t-2<0) şi rezolvaţi inegalitatea quadratică: t∈(−2,1)t\in(-2,1).
33 puncte
Revenind la xx: log⁡2(2x−1)∈(−2,1)\log_2(2^x-1)\in(-2,1) conduce la 2x−1∈(2−2,21)=(1/4,2)2^x-1\in(2^{-2},2^1)=(1/4,2), deci 2x∈(5/4,3)2^x\in(5/4,3) şi, prin aplicarea funcţiei logaritm, soluţia finală este x∈(log⁡2(5/4),log⁡23)x\in(\log_2(5/4),\log_2 3), intersectat cu domeniul.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.