MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiFuncția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați inegalitatea: log⁡5(x−3)+12log⁡53<12log⁡5(2x2−6x+7)\log_5(x-3)+\tfrac{1}{2}\log_5 3 < \tfrac{1}{2}\log_5(2x^2-6x+7).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Domeniul: x−3>0⇒x>3x-3>0\Rightarrow x>3. Observaţi că 2x2−6x+7>02x^2-6x+7>0 pentru orice xx (discriminant negativ), deci nu restricţionează domeniul suplimentar.
24 puncte
Multiplicaţi inegalitatea cu 2 şi folosiţi proprietăţile logaritmilor: 2log⁡5(x−3)+log⁡53<log⁡5(2x2−6x+7)2\log_5(x-3)+\log_5 3<\log_5(2x^2-6x+7), adică log⁡5(3(x−3)2)<log⁡5(2x2−6x+7)\log_5\big(3(x-3)^2\big)<\log_5(2x^2-6x+7). Pentru baza 5>15>1 inegalitatea devine 3(x−3)2<2x2−6x+73(x-3)^2<2x^2-6x+7.
34 puncte
Reduceţi la o inegalitate quadratică: dezvoltând şi adunând termeni obţineţi x2−12x+20<0x^2-12x+20<0, care dă intervalul (2,10)(2,10). Intersectaţi cu domeniul x>3x>3 şi daţi soluţia finală x∈(3,10)x\in(3,10).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.