MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați inegalitatea (log⁡x)4−13(log⁡x)2+36>0(\log x)^{4}-13(\log x)^{2}+36>0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Domeniul: x>0x>0. Notăm t=log⁡xt=\log x; inegalitatea devine t4−13t2+36>0t^{4}-13t^{2}+36>0.
24 puncte
Punem u=t2≥0u=t^{2}\ge0 și obținem u2−13u+36>0u^{2}-13u+36>0, adică (u−9)(u−4)>0(u-9)(u-4)>0. Rezultă u∈[0,4)∪(9,∞)u\in[0,4)\cup(9,\infty). În termeni ai lui tt: t∈(−2,2)∪(−∞,−3)∪(3,∞)t\in(-2,2)\cup(-\infty,-3)\cup(3,\infty) (valorile corespunzătoare lui t2=4t^{2}=4 sau 99 sunt excluse).
34 puncte
Revenind la xx, soluția se scrie ca log⁡x∈(−∞,−3)∪(−2,2)∪(3,∞)\log x\in(-\infty,-3)\cup(-2,2)\cup(3,\infty). Dacă logaritmul este în baza b>1b>1 se poate traduce ca x∈(0,b−3)∪(b−2,b2)∪(b3,∞)x\in(0,b^{-3})\cup(b^{-2},b^{2})\cup(b^{3},\infty) (pentru 0<b<10<b<1 ordinea intervalelor se inversează).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.