MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceFuncția de gradul al II-lea
Determinați pentru ce valori ale lui a ecuația 2 (log⁡3x)2−log⁡3x+a=02\,\bigl(\log_3 x\bigr)^2 - \log_3 x + a = 0 are patru soluții.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Puneți t=log⁡3xt=\log_3 x; ecuația devine 2t2−t+a=02t^2-t+a=0. Studiul soluţiilor în funcţie de aa se reduce la studiul discriminantului Δ=1−8a\Delta=1-8a.
23 puncte
Observaţi că transformarea t↦x=3tt\mapsto x=3^t este o bijecţie între R\mathbb{R} şi (0,∞)(0,\infty), deci fiecare soluţie reală tt corespunde unei singure soluţii reale x>0x>0.
33 puncte
Concluzie: numărul de soluţii reale în xx este egal cu numărul de soluţii distincte reale ale lui tt, adică cel mult 2; deci nu există valori ale lui aa pentru care ecuația să aibă patru soluţii reale. (Pentru două soluţii distincte în xx este necesar Δ>0\Delta>0, adică a<18a<\dfrac{1}{8}.)

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.