MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația: log⁡2(x4)=15log⁡2(x8)−1\log_2\left(\dfrac{x}{4}\right)=\dfrac{15}{\log_2\left(\dfrac{x}{8}\right)-1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Domeniul: (x/4>0\Rightarrow x>0). De asemenea trebuie ca (\log_2(x/8)-1\neq0), adică (\log_2(x/8)\neq1\Rightarrow x\neq16).
22 puncte
Notăm (a=\log_2(x/8)). Observăm că (\log_2(x/4)=\log_2(2\cdot x/8)=1+a).
33 puncte
Înlocuim în ecuație: (1+a=15/(a-1)). Multiplicăm: ((1+a)(a-1)=15\Rightarrow a^2-1=15\Rightarrow a^2=16\Rightarrow a=4) sau (a=-4).
43 puncte
Revenim la (x): (x=8\cdot2^{a}). Pentru (a=4) avem (x=8\cdot16=128). Pentru (a=-4) avem (x=8\cdot2^{-4}=8\cdot\tfrac{1}{16}=\tfrac12). Ambele satisfac domeniul și nu sunt (16), deci soluțiile sunt (x=128) și (x=1/2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.