MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiTrigonometrie
Rezolvați inegalitatea: log⁡2(sin⁡(x/2))<−1\log_2(\sin(x/2)) < -1.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
13 puncte
Domeniul: argumentul logaritmului trebuie pozitiv, deci sin⁡(x/2)>0\sin(x/2)>0.
27 puncte
Pentru baza 2>12>1 avem log⁡2(sin⁡(x/2))<−1  ⟺  sin⁡(x/2)<2−1=12\log_2(\sin(x/2))<-1\iff \sin(x/2)<2^{-1}=\tfrac{1}{2}, în combinație cu sin⁡(x/2)>0\sin(x/2)>0. Fie t=x/2t= x/2. Soluția pentru sin⁡t∈(0,12)\sin t\in(0,\tfrac{1}{2}) este t∈(2kπ,2kπ+π6)∪(2kπ+5π6,2kπ+π)t\in(2k\pi,2k\pi+\tfrac{\pi}{6})\cup(2k\pi+\tfrac{5\pi}{6},2k\pi+\pi), k∈Zk\in\mathbb{Z}. Revenind la xx obținem x∈(4kπ,4kπ+π3)∪(4kπ+5π3,4kπ+2π)x\in(4k\pi,4k\pi+\tfrac{\pi}{3})\cup(4k\pi+\tfrac{5\pi}{3},4k\pi+2\pi), k∈Zk\in\mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.