MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pentru ce valori ale lui aa ecuatia ax2+x+a−1=0a x^2 + x + a - 1 = 0 are doua radacini reale distincte x1x_1, x2x_2 care satisfac inegalitatea ∣1x1−1x2∣>1?\left| \frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2} \right| > 1?

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Pentru ca ecuatia sa fie de gradul al doilea, cerem a≠0a \ne 0. Coeficientii sunt A=aA = a, B=1B = 1, C=a−1C = a - 1. Discriminantul este Δ=1−4a(a−1)=−4a2+4a+1.\Delta = 1 - 4a(a - 1) = -4a^2 + 4a + 1. Pentru radacini reale distincte avem Δ>0,\Delta > 0, adica 4a2−4a−1<0.4a^2 - 4a - 1 < 0. Radacinile acestei ecuatii sunt a=1±22,a = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}, astfel incat 1−22<a<1+22.\frac{1 - \sqrt{2}}{2} < a < \frac{1 + \sqrt{2}}{2}.
24 puncte
Avem 1x1−1x2=x2−x1x1x2.\frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2}. Modulul este ∣1x1−1x2∣=∣x2−x1∣∣P∣,\left| \frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2} \right| = \frac{|x_2 - x_1|}{|P|}, unde P=x1x2=a−1a.P = x_1 x_2 = \dfrac{a - 1}{a}. Diferenta radacinilor este ∣x2−x1∣=Δ∣A∣=−4a2+4a+1∣a∣.|x_2 - x_1| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|A|} = \frac{\sqrt{-4a^2 + 4a + 1}}{|a|}. Astfel conditia devine −4a2+4a+1∣a∣⋅∣a∣∣a−1∣>1,\frac{\sqrt{-4a^2 + 4a + 1}}{|a|} \cdot \frac{|a|}{|a - 1|} > 1, adica −4a2+4a+1>∣a−1∣.\sqrt{-4a^2 + 4a + 1} > |a - 1|.
33 puncte
Ridicam la patrat (tinand cont ca membrul stang este pozitiv in intervalul considerat): −4a2+4a+1>(a−1)2=a2−2a+1,-4a^2 + 4a + 1 > (a - 1)^2 = a^2 - 2a + 1, −5a2+6a>0,-5a^2 + 6a > 0, a(−5a+6)>0.a(-5a + 6) > 0. Rezulta 0<a<65.0 < a < \frac{6}{5}. Intersectam cu intervalul discriminantului: (1−22,1+22)\left(\dfrac{1 - \sqrt{2}}{2}, \dfrac{1 + \sqrt{2}}{2}\right), ceea ce da 0<a<1+22.0 < a < \frac{1 + \sqrt{2}}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.