MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilorEcuații logaritmice
Rezolvați inegalitatea log⁡1/2 ⁣(log⁡2 ⁣(x1+x))>0\log_{1/2}\!\bigl(\log_{2}\!\bigl(\dfrac{x}{1+x}\bigr)\bigr)>0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Domeniul: argumentul interior este definit: x1+x>0\dfrac{x}{1+x}>0, deci x>0x>0 sau x<−1x<-1. De asemenea trebuie ca log⁡2(x/(1+x))>0\log_{2}(x/(1+x))>0 pentru a fi în domeniul lui log⁡1/2\log_{1/2}.
24 puncte
Observăm că baza 1/2∈(0,1)1/2\in(0,1), deci log⁡1/2Y>0  ⟺  0<Y<1\log_{1/2}Y>0\iff 0<Y<1. Astfel trebuie 0<log⁡2 ⁣(x1+x)<10<\log_{2}\!\left(\dfrac{x}{1+x}\right)<1, adică 1<x1+x<21<\dfrac{x}{1+x}<2.
33 puncte
Rezolvăm inegalitățile: pentru x>0x>0 avem x1+x<1\dfrac{x}{1+x}<1, deci nu se îndeplinește; pentru x<−1x<-1 inegalitățile conduc la x<−2x<-2. Verificarea arată că pentru orice x<−2x<-2 se obține 1<x1+x<21<\dfrac{x}{1+x}<2, deci soluția este x<−2 x<-2\,.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.