MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere RealeTeoria Mulțimilor
Gasiti toate valorile lui aa pentru care inegalitatea (x−3a)(x−a−3)<0(x - 3a)(x - a - 3) < 0 este satisfacuta pentru toate valorile lui xx din intervalul 1≤x≤3.1 \le x \le 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Radacinile expresiei (x−3a)(x−a−3)(x - 3a)(x - a - 3) sunt r1=3a,r2=a+3.r_1 = 3a, \quad r_2 = a + 3. Pentru coeficientul pozitiv al lui x2x^2, produsul este negativ pentru xx intre radacini: min⁡(r1,r2)<x<max⁡(r1,r2).\min(r_1, r_2) < x < \max(r_1, r_2). Vrem ca inegalitatea sa fie strict negativa pentru toate x∈[1,3]x \in [1,3], deci trebuie ca [1,3]⊂(min⁡(r1,r2),max⁡(r1,r2)).[1,3] \subset (\min(r_1, r_2), \max(r_1, r_2)).
24 puncte
Cazul 1: a<3/2a < 3/2, atunci 3a<a+33a < a + 3, deci r1=3ar_1 = 3a, r2=a+3r_2 = a + 3. Conditiile devin 3a<1,a+3>3,3a < 1, \quad a + 3 > 3, adica a<13,a>0.a < \frac{1}{3}, \quad a > 0. Cazul 2: a>3/2a > 3/2, atunci a+3<3aa + 3 < 3a. Ar trebui a+3<1a + 3 < 1 si 3a>3,3a > 3, imposibil simultan. Pentru a=3/2a = 3/2 radacinile coincid, iar produsul nu mai este strict negativ in tot intervalul, deci se exclude.
33 puncte
Concluzie: valorile pentru care inegalitatea este satisfacuta pentru toate x∈[1,3]x \in [1,3] sunt 0<a<13.0 < a < \frac{1}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.